مثلث (خیام نیوتن – پاسکال)

در این پست انیمیشن مثلث (خیام نیوتن – پاسکال) را ببینید.

رابطه ی بین عدد ۲ و سایر اعداد طبیعی

رابطه ی بین عدد ۲ و سایر اعداد طبیعی

 

 

آیا می دانید که با سه بار استفاده از عدد ۲، می توان هر عدد طبیعی را به دست آورد!

کافی است مانند تصویر عمل کنید.

تعداد رادیکال ها nتاست. (به ازای n=1 یک رادیکال، به ازای n=2 دو رادیکال و … را در نظر بگیرید.)

به نظر شما به جای عدد ۲ می توان از عددطبیعی دلخواه a استفاده کرد؟ در اینصورت چه تغییری در رابطه ایجاد می کنید؟

مهندسی عنکبوت

                                 

   عنكبوت مهندسي ماهر :

 

اگر انسان بخواهد خطوطي را به عنوان دايره ، زاويه و مثلث رسم كند و نظم و حساب فواصل اين خطوط را رعايت كند بايد اولاً مقدار قابل توجهي هندسه و حساب بياموزد و ثانياً در ترسيم اينها به آلات و ابزاري از قبيل پرگار و نقاله محتاج است ولي اين مهندس ماهربرای ساخت مثلث هاي منظمي كه در خانه ي خود به كارمي برد ،از هيچگونه ابزاري استفاده نمی کند . حتي با چشم خود هم نگاه نمي كند و فقط با پاهاي خود مي تند و خانه ي خود را كه يكي از دقيق ترين شاهكارهاي عالم خلقت است بوجود مي آورد

اين مهندس هنگام خانه سازي ابتدا نقطه اي را در وسط به عنوان مركز در نظر مي گيرد و سپس تارهايي را با فواصل منظم و دقيق ، دور آن مركز به صورت  « شعاعهاي دايره » مي تند و به اين ترتيب « مثلث هاي متساوي الساقين » را كه  همه ي آنها داراي « زواياي تند » هستند بوجود مي آورد . اندازه ي اين تارها و  فاصله هاي آنها با هم آنقدر حساب   شده به نظر مي رسد كه باعث تحسين است .

 سپس تارهاي ديگري بر عرض تارهاي اول مي تند و آنها را در محل تلاقي و  تقاطع با هم پيوند مي دهد و به اين وسيله دايره هاي بزرگ و كوچك كه همه  « متحدالمركز » هستند تشكيل مي شود كه اين دايره ها هر قدر به مركز  نزديكتر باشند ، كوچكتر و هر اندازه كه از مركز دورتر باشند بزرگتر هستند.  

انسان اولیه چگونه می شمرد؟!

انسان اولیه چگونه می شمرد؟!

 

در آغازانسان اولیه برای نشان دادن عدد مورد نظر خود از زبان اشاره استفاده می کرد شاید به ببری که

  کشته بود یا به سرنیزه همسایه اش اشاره کند یا شاید از انگشتانش به علامت اعداد استفاده می

 کرد سه انگشت دست معنی سه می داد خواه سه نیزه یا سه ببر یا سه غار باشد. در ابتدا انسان اولیه

 می توانست تا دو بشمرد امروزه هنوز در جهان قبایلی ابتدایی مانند بومیان بدوی استرالیا"ابوجین"ها

 وجود دارد فقط سه عدد می شناسند یک،دو و بسیار هنگامی با انگشتان دست شماره میکنید تفاوتی

نمی کند که از انگشت کوچک دست یا از انگشت شصت شروع کنیم اما بین برخی از اقوام برای این کار

قاعده هایی وجود دارد مثلا زونیا(قبیله ای از سرخپوستان آمریکای شمالی)شمردن را از انگشت کوچک

کوچک دست چپ شروع می کردند.

 

 

دانش ریاضی در چه زمانی و توسط چه کسانی متولد شد؟

تاریخ را معمولا غربیها نوشته اند، و تا آنجا که توانسته اند آن را به نفع خود مصادره کرده اند. بنابراین نمی توان انتظار داشت نوادگان اروپائیانی
که سیاهان آفریقا را در حد یک حیوان پائین آورده و آنها را به بردگی کشانده اند، آنها را انسانهائی با سوابق کهن تاریخی و علمی معرفی نمایند.
البته این کلام مصداق کلی ندارد، و فقط اشاره به جریان حاکم در تاریخنگاری غربیها دارد.

اگر به تاریخ آفریقا نگاه کنیم،

• قدیمیترین شئ ریاضی از 35000 سال پیش از میلاد در سوازیلند کشف شده.
• قدیمیترین مثال حساب از 6000 سال پیش از میلاد در زئیر کشف شده.
• هرم عظیم گیزا که یک شاهکار مهندسی است، حوالی سال 2650 پیش از میلاد در مصر ساخته شده.
• پاپیروس مصری 4000 ساله معروف به مسکو، حاوی مطالبی از هندسه است.

لازم به اشاره است که، یونانیان نیز مبانی ریاضی را از بابلیان به ارث برده‌اند.

 

ریاضیات مدون در حدود 2000 سال قبل از میلاد مسیح ، توسط بابلیان بوجود آمد .
در آن زمان بابلیان نتایج جبر مقدماتی را یکجا جمع کردند.

اما ریاضیات به مفهوم واقعی و امروزی آن ، در سرزمین یونان و در قرنهای 4 و 5 قبل از میلاد ایجاد شد.

به تدریج توسعه یافت، اوج رشد آن در قرن 17 با بوجود آمدن هندسه تحلیلی و حساب دیفرانسیل و انتگرال بود. اما در قرن 19 تجدید نظر کلی و پیشرفتهای فراوان در این علم بوجود آمد.

 

در گذشته برای نوشتن یک میلیون چقدر وقت لازم بود؟

 مصریان باستان،بابلیان و چینیها مانند یونانیان و رومیان باستان علامات مخصوصی را برای بیان اعداد بسیار بزرگ به کار می بردند این اختراع در بکار بردن علامات خاص برای اعداد بزرگ نخستین پیشرفت در نوشتن ارقام بود برای درک اهمیت این پیشرفت کافی است در نظر مجسم کنید نشان دادن یک میلیون به روش بریدن چوب خط یا ردیف کردن دانه های شن چقدر دشوار است و چه زمانی را نیاز دارد. اگر برای کندن هرشیار بر چوب یا چیدن هر ریگ یک ثانیه وقت در نظر بگیریم برای نوشتن عدد 1000000 مجبور بودید یک میلیون ریگ را یک به یک (هر ثانیه یکی )بشمارید ،278 ساعت یا 11 روز 14 ساعت بدون درنگ وقت لازم داشتید تا به یک میلیون برسید.

 

ریاضیات دوران نخستین

به درستی نمی دانیم که انسان اولیه از چه زمانی برای تبادل نظر با خانواده و همسایگان خود به جای اشاره به سخن گفتن پرداخته است. اما این را می دانیم که هزاران سال پیش از آن که نوشتن را فرا گیرد به سخن گفتن پرداخته است به همین ترتیب انسان هزاران سال پیش از آن که علام و نشانه های ریاضی را به جای کلمات به کار برد.یعنی  به جای کلمه "سه"،رقم "3"را به کار برد نام ارقام را می دانسته است. انسان به عدد نیاز داشت و می بایست شمردن را می آموخت شاید داستان از آنجا آغاز شد که انسان غارنشین تصمیم گرفت که شکار خود را که یک ببر دندان دشنه ای بود با سه نیزه همسایه اش معامله کند یا شاید نیاز به شمردن زمانی پیدا شد که نوجوان غارنشین می خواست به برادران و خواهرانش بگوید که 4 ماموت بزرگ را در هنگام شکار دیده است

یک ترفند جالب ریاضی

یک ترفند جالب ریاضی

اگر بخواهيم حاصلضرب اعداد دو رقمي كمتر از ۲۰ را بدست آوريم مي توانيم از روش زير استفاده كنيم با استفاده از اين روش مي توانيم خيلي سريع حاصل ضربها را بدست آوريم .

به طور مثال 16 × 19 را آزمايش مي کنيم
عمليات : يكي از اعداد را با يكان عدد ديگر جمع ميكنيم . ( يعني 25 = 6 + 19 ) و در جلوي حاصلجمع صفري قرار دهيد(250 ) . سپس يکان دو عد را در هم ضرب کنيد و با عدد قبلي جمع کنيد . (يعني 54 = 6 × 9 و 304 = 54 + 250 ) جواب ما 304 است .

اگر اين عمل را چند بار تکرار کنيد به راحتي و در دو سه ثانيه مي توانيد ضرب هاي دورقمي زير 20 رو بدست آوريد

راز عجیب عدد 312

راز عجیب عدد 312

اگر اين قسمت را بخوانيد برايتان جالب خواهد بود و بيشتر به رياضي علاقمند مي شويد.
هر عددي دوست داريد در نظر بگيريد ( مثلا عدد 674328 )تعداد رقمهاي اين عدد را شمرده و آنرا بنويسيد ( در اين مثال 6 مي شود )
سپس تعداد ارقام زوج را شمرده کنار عدد قبلي قرار دهيد ( تعداد زوجها 4 است پس داريم 64 )
حال تعداد ارقام فرد را شمرده کنار عدد قبلي قرار دهيد ( تعداد فردها 2 است پس داريم 642 )
هم اکنون عدد 642 را داريم با اين عدد نيز مراحل با لا را تکرار کرده
تعداد رقمهاي اين عدد را شمرده و آنرا بنويسيد ( 3 مي شود )
سپس تعداد ارقام زوج را شمرده کنار عدد قبلي قرار دهيد ( تعداد زوجها 3 است پس داريم 33 )
حال تعداد ارقام فرد را شمرده کنار عدد قبلي قرار دهيد ( تعداد فردها 0 است پس داريم 330 )
حالا براي عدد 330 اين کار را انجام مي دهيم
تعداد رقمهاي اين عدد را شمرده و آنرا بنويسيد ( 3 مي شود )
سپس تعداد ارقام زوج را شمرده کنار عدد قبلي قرار دهيد ( تعداد زوجها 1 است پس داريم 31)
حال تعداد ارقام فرد را شمرده کنار عدد قبلي قرار دهيد ( تعداد فردها 2 است پس داريم 312 )
در اين مثال مشاهده نموديم که آ خر به 312 رسيديم
ما ادعا مي کنيم که هر عدد طبيعي با اين روال به 312 ختم مي شود باور نداريد امتحان کنيد

اعدادemirp

اعدادی اند اول که اگر معکوسشان هم کنیم باز هم اول هستند مانند :

13، 31 ، 17 ، 37 .فقط هم۴تاهستند.

اندرعجایب عدد7

در عیسویت آمده که عیسی 7 خوراکِ پسندیده داشت- نمک، سرکه، نان؛ تره، ماهی، روغن، عسل=انگبین-

در انجیلِ یوهنا آمده است که یوهنا 7 روح، 7 خورشید، 7 چهره، 7 گوسفندِ 7 شاخ و 7 سر و7 چشم را همراه با 7 فرشته در خواب دید؛

ادونتیست و بعضی دیگر فرقه های مسیحیت، 7 ژانویه را تولد اصلیِ عیسی میدانند؛

در مسیحیت 7 نوع نیایش، 7 گناه، 7 توبه، 7 اندوه و 7 شادی وجود دارد؛

در اسلام در مراسمِ حج، 7 دور خانه کعبه را می چرخند؛

معلقاتِ سبعه، 7 بتِ اصلی بر سر درِ خانه کعبه بودند؛

قرآن 7 بخش دارد: وعد، وعید، وعض، قصص، امر به معروف، نهی از منکر، ادنیه؛

عضو در سجده در وقتِ نماز بر زمین است؛

برای پاکیزه شدن اشاره به 7 بار آب کشیدن شده؛

اولین سوره قرآن 7 آیه دارد؛

در قرآن 7 بار سلام آمده: سلام به نوح، به ابراهیم، به موسی،

به هارون، به یاسین، به خالدین، به الحی فجر؛

اصحاب کهف 7 تن بودند؛

در بهشت 7 چشمه ونهر و در دوزخ 7 طبقه"عشکوب" است

که آخرینِ آن اسفل السافلین است؛

در قرآن آسمان را دارای 7 طبقه میداند؛ برای مردگان شبِ هفت میگیرند... زرتشت زمین را دارای 7 بخش میدانست ؛

آرامگاهِ کوروش بزرگ 7 پله دارد؛

از تجزیه نور خورشید 7 رنگ حاصل می شود؛

دوره کودکی 7 سال طول می کشد؛

عجایبِ هفتگانه؛

7 آتشکده زرتشت: آذرنوش، آذرمهر، آذرآبادگان، آذرتشت، آذرخرداد…..؛

7 پله ومرامِ اعتقادی برای رسیدن به عرفان زرتشتی وجود دارند: کلاغ، میهمان، سرباز، شیر، پارسی، خورشید، پیر(پدر)، که شیر وخورشید نمادِ پرچمِ ایرانیان شد.

به روایتِی هفت سین، نشانه هفت دانه گیاهی است که میتوان با آن سبزه نوروز را تهیه کرد: جو، ماش، عدس، ارزن، لوبیا، نخود و ..؛

در زمانهای پارسیانِ کهن، مردم از هر هفت دانه، سبزه می پروراندند - 10 روز قبل از نوروز - و ظروفِ آنرا بر سر درِ خانه های خود میگذاشتند و هر کدام بیشتر و بهتر سبز میشد، نشانه پر ثمریِ آن محصول برای کاشت در آن سال بود- سنت-.

در اصل 7 س، بمعنای هفت سپندان"فرشته" میباشد، که 6 تای آن الگوی 6 ابر فرشته در آیینِ زرتشتی میباشند و هفتمین اهورا مزدا میباشد، که بر آن اساس نامِ ماههای ایرانی نیز انتخاب شده اند:اردیبهشت"سبزه"؛ خرداد"سنجد"؛ امرداد"سرکه= انگور آماده سرکه شدن است"؛ شهریور"سمنو= که از جوانه گندم درست میشود"؛ بهمن"سماق= سماک"؛ اسفند= اسپندار مزد"سیب"؛ اهورامزدا"سیر".وجود چیزهای دیگری که نامشان با سین شروع میشوند - سماور، سکه،…- و یا چیزهایی که با سین شروع نمیشوند- ماهی، آیینه وشمعدان، …. - برای تزئین اشکالی ندارد ولی به هیچ وجه نمیتواند هفت سینِ اصلی را که نشانه هفت سپندار"فرشته" است، جایگزین کند.

هفت علم انساني (علوم سبعه): طبقه بندي آزاد موضوعاتي که از قرن پنجم ميلادي به بعد، دربرگيرنده برنامه آموزشي غرب در قرون وسطا بود. به نظر مي رسد که نام «علوم انساني» برگرفته از رساله «سياست» ارسطو باشد که در آن از «شاخه هايي از دانش که شايسته انسان آزاد است»، يعني دانش اوليه اي که براي يک شهروند با تحصيلات مناسب لازم است، سخن گفته است. اين علوم عبارتند از علوم سه گانه: دستور زبان(ادبيات)، علم بيان و ديالکتيک (مباحثه و مکالمه) و علوم چهارگانه که پيشرفته تر بوده و از اين قرارند: حساب، هندسه، موسيقي و نجوم.
هفت حس: بر اساس تعليمات باستاني، روح انسان يا «بدن مقدس درون» او مرکب از هفت خاصيت است که هر يک تحت تاثير يکي از سيارات هفتگانه اند. «آتش» موجب زندگي، «خام» بوجود آورنده توانايي احساس کردن، «آب» موجب قدرت بيان، «هوا» حس چشايي، «مه» موجد حس بينايي، «گل ها» بوجود آورنده حس شنوايي و «باد جنوب» بوجود آورنده حس بويايي.

شکار اعداد اول

یونانی‌ها اعداد اول را می‌شناختند و از نقش آن ‌ها به عنوان عوامل سازنده ی دیگر

اعداد آگاه بودند. بعد از این دستاورد بزرگ، مهم ترین سؤالی که به ذهن بشر رسید

این بود که: چه نظمی بر دنباله ی اعداد اول حاکم است؟

ادامه نوشته

زیبایی ریاضیات در اعداد

90=9+9×9

9900=99+99×99

999000=999+999×999

99990000=9999+9999×9999

.                    .              .

.                    .              .

.                    .              .

 

40= 4+6×6

4400= 44+66×66

444000 = 444+666×666

44440000 = 4444+6666×6666

.                   .             .

.                   .             .

.                   .             .

 

10=1+3×3

1100 = 11+33×33

111000 = 111+333×333

11110000 = 1111+3333×3333

.                   .               .

.                   .               .

.                   .               .

 

170= 1+13×13

17700=11+133×133

1777000=111+1333×1333

177770000=1111+13333×13333

.                 .                   .

.                 .                   .

.                 .                   .

 

121=11×11

10201=101×101

1002001=1001×1001

100020001=10001×10001

.                   .            .

.                   .            .

.                   .            .

مثلث طلایی

مثلث متساوي الساقيني كه زاويه ي هر رأس آن 36 درجه باشد به مثلث طلايي معروف است، زيرا در اين مثلث نسبت اندازه ي هر دو ساق به اندازه ي قاعده برابر عدد طلايي است يعنی 

اگر نيمساز يك زاويه ي مجاور به قاعده مثلاً نيمساز زاويه C را رسم كنيم تا ساق AB را در نقطه ي D قطع كند. مثلث BCD با مثلث ABC متشابه است و يك مثلث طلايي مي باشد. زيرا مثلث متساوي الساقيني است كه زاويه ي رأسش 36 درجه است و اگر عمل را به همين ترتيب ادامه دهيم مثلثهاي طلايي ديگري بدست مي آيند نكته جالب آن است كه رأسهاي اين مثلثهاي طلايي روي مارپيچ لگاريتمي قرار دارند. قطب اين مارپيچ از محل برخورد ميانه هايي كه با خط چين مشخص شده اند، مي گذرند.

چند تعريف

عدد متعالي:
عددي كه جبري نباشد را متعالي گوييم
مثال:عدد p یا عدد e
عدد هندسي:

اين اعداد به صورت چند ضلعي هستند.در زير نمونه هايي از اين اعداد را آورده ايم:

اعداد مثلثي:

اعداد مربعي:

اعداد مخمسي:

اعداد مسدسي:

تکامل ریاضیات

وقتی می گوییم ریاضیات این دوره با سمت گیری کاربردی به پیش رفته است به این معنا نیست که در زمینه ریاضیات نظری کاری انجام نشده است بلکه تنها به این معناست که عامل اصلی پیشرفت ریاضیات انگیزه بیرونی آن (یعنی زندگی، عمل و نیازهای ناشی از آنها) بوده است.
دوره دوم تکامل ریاضیات با سمت گیری کاربردی را (که در ضمن دوره سوم تکامل ریاضیات بود) باید از سده هشتم تا سده شانزدهم میلادی دانست، دوره ای که گرانیگاه آن در ایران بود. زندگی مسئله های تازه ای را پیش آورد که باید به یاری ریاضیات حل می شد و ریاضیات نظری دوره پیش (ریاضیات یونانی) از عهده حل آنها بر نمی آمد. این مسئله ها به طور عمده مربوط می شد به اخترشناسی، مکانیک (ساختن ساعت های مکانیکی، اسطرلاب و سایر ابزارهای لازم برای رصد، ظریف تر و دقیق تر کردن وسیله های فلزی، سفالی و...) و مسئله های ناشی از اعتقادهای دینی (پیدا کردن جهت قبله، حل مسئله های مربوط به تقسیم ارث و عمل کردن به وصیت نامه ها، که گاه بسیار پیچیده بود)، گسترش ارتباط های بازرگانی، ساختن قصرها و پرستشگاه ها، ایجاد کاریزها و آبراه ها و...
و ریاضیات با استفاده از همه دستاوردهای دوره های قبل (و به ویژه ریاضیات یونان و هند) با سمت گیری کاربردی (که در سطحی بسیار بالاتر از ریاضیات کاربردی دوره قبل از یونان بود)، به تکامل خود ادامه داد. اگر از استثناها بگذریم، همه ریاضیدانان این دوره، از پسران «موسی شاکر» تا «جمشید کاشانی»، ایرانی بوده اند.
وقتی می گوییم ریاضیات این دوره با سمت گیری کاربردی به پیش رفته است به این معنا نیست که در زمینه ریاضیات نظری کاری انجام نشده است بلکه تنها به این معناست که عامل اصلی پیشرفت ریاضیات انگیزه بیرونی آن (یعنی زندگی، عمل و نیازهای ناشی از آنها) بوده است.
ریاضیدانان ایرانی این دوره با اطلاع از کارهای یونانیان و هندیان و با استفاده از ذخیره فرهنگی غنی قوم های ساکن ایران تلاش کردند کمبودها و شکاف های نظری ریاضیات یونانی را برطرف کنند.
آنها بارها و بارها «مقدمات» اقلیدوس را به بحث انتقادی کشاندند، روش های بطلمیوسی را که در «المجسطی» آمده بود، تصحیح کردند و تکامل دادند، پایه های جبر و مثلثات و به طور کلی ریاضیات محاسبه ای را ریختند، با بررسی دقیق مربوط به نسبت ها مفهوم عدد حقیقی را به عنوان یک کمیت پیوسته وارد ریاضیات کردند، پایه های اصلی هندسه نااقلیدوسی را بنا نهادند، روش های ارشمیدس را در زمینه «انتگرال گیری» تکامل بخشیدند و غیره و غیره. ولی در همه این زمینه ها توجه اصلی ریاضیدانان ایرانی، به نیازهای زندگی و دانش های دیگر بوده است. خوارزمی جبر را به دلیل دشواری هایی که در فقه اسلامی برای تقسیم ارث وجود داشت، پدید آورد. نیمه نخست کتاب «جبر و مقابله» خوارزمی، بحثی نظری درباره راه حل معادله های درجه اول و درجه دوم- هم با محاسبه و هم به کمک استدلال های هندسی- است. البته خوارزمی از نمادهای جبری استفاده نمی کند و مسئله ها را به صورت توصیفی حل می کند، ولی دقت در روش های حل او، ما را به دستوری می رساند که امروز، برای حل معادله درجه دوم، به کار می بریم.
خوارزمی و ریاضیدانان ایرانی بعد از او، عدد منفی را- جز در برخی حالت های استثنایی- به کار نمی برند، به معادله های بالاتر از درجه سوم توجهی نداشتند (خیام، در کتاب جبر خود، برخی از گونه های معادله درجه سوم را به کمک مقطع های مخروطی حل کرده است) و اغلب تنها به یکی از ریشه های معادله، اکتفا می کردند و همه اینها به دلیل توجه اصلی آنها به عمل و نیازهای زندگی بوده است. به طور مثال، ریاضیدانان ایرانی (به پیروی از ریاضیدانان یونانی)، اگر طول پاره خط راست را برابر a می گرفتند،a۲ را مربعa (یعنی مساحت مربعی به ضلع برابر a) و a۳ را مکعبa (یعنی حجم مکعبی به ضلع برابر a) می گفتند، اصطلاح هایی که هنوز هم معمول اند. در واقع توان دوم را به معنای مساحت و توان سوم را به معنای حجم می گرفتند و چون در زندگی عملی، با جسم چهار یا پنج بعدی سروکار نداریم، بحث درباره معادله های بالاتر از درجه سوم را - جز در حالت های نادر مثل معادله های سیال کرجی - بی معنی می دانستند.
فارابی در کتاب بزرگ موسیقی خود، برای نخستین بار در جهان، نظریه علمی موسیقی را مطرح می کند و جنبه های مختلف آن را مورد بحث قرار می دهد (در تقسیم بندی فارابی از دانش ها، موسیقی بخشی از ریاضیات به شمار می آید) پیش از فارابی، اگر از موسیقی عملی عیلام و بابل و مصر و هند بگذریم، تنها در یونان بحث هایی در زمینه موسیقی در جریان بود که بیشتر جنبه متافیزیکی داشت و آمیخته با وهم و تخیل بود.
فارابی مبانی فیزیکی و ریاضی موسیقی را بررسی کرده و نخستین کتاب علمی موسیقی را ارائه داده است. ابوالوفا و بیرونی بیش از دیگران دستورهای مثلثاتی را کشف و ثابت کردند و این به دلیل دشواری هایی بود که در اخترشناسی و محاسبه های مربوط به آن پیش می آمد. بطلمیوس بیشتر استدلال ها و محاسبه های خود را بر اساس هندسه و قضیه ها و مسئله های آن انجام می داد و این کار را بسیار دشوار می کرد. «ابوالوفای بوزجانی» و «ابوریحان بیرونی»، برای رفع این دشواری ها بود که مثلثات را شکوفا کردند و پیش بردند و سرانجام «نصرالدین توسی» با تالیف «کشف القناع» خود استقلال مثلثات را از هندسه اعلام کرد. «جمشید کاشانی» برای همین محاسبه های اخترشناسی (او پایه گذار رصدخانه الغ بیگ در سمرقند بود) و به این دلیل که راه های قبلی (مانند راه ابوالوفا)، اندکی طولانی و تا اندازه ای غیردقیق بود، روش جبری حل معادله درجه سوم: ۴x۳-۳x = a را برای پیدا کردن مقدار دقیق سینوس یک درجه (از روی سینوس سه درجه) به دست آورد.
ریاضیدانان ایرانی، اندازه سینوس زاویه های ،۱۵ ،۱۸ ،۳۰ ،۴۵ ،۶۰ ،۷۲ ۷۵ درجه (و در نتیجه، کسینوس آنها) را می شناختند و مقدار سینوس سه درجه را با بسط (۱۵- ۱۸) sin به دست می آوردند. باید به این نکته اشاره کنیم که اغلب مورخان دانش حتی با انصاف ترین آنها نتوانسته اند مقام ریاضیات ایرانی را، در مجموعه تاریخ ریاضیات به درستی و روشنی ارزیابی کنند. اغلب آنها ریاضیدانان ایرانی را تا حد مترجمان ساده نوشته های یونانی پایین آورده اند که این ترجمه ها هم به موقع خود، به صاحبان اصلی یعنی اروپاییان برگشت داده شده است. به این ترتیب مورخان ریاضی آغاز ریاضیات را در اروپا (یونان) می دانند که بعد از سقوط مکتب اسکندریه در سده های سوم و چهارم میلادی، دوران فترتی به وجود می آید که تا سده پانزدهم میلادی ادامه دارد و سپس با دسترسی اروپاییان به نوشته های یونانی (از راه ترجمه عربی آنها) دوباره دنبال کار را می گیرند و آن را به امروز می رسانند.
*برگرفته از کتاب «سرگذشت ریاضیات»، پرویز شهریاری هما کبیری
روزنامه شرق

پنج اصل در تحقیقات ریاضی

در اکثر مراکز آموزشی پروژه تحقیقاتی یکی از نیازهای اساسی برای فراغت از تحصیل در دوره های تخصصی ریاضی می باشد. ولی بسیاری از دانشجویان در ایجاد و یافتن موضوع تحقیقاتی ناتوانند و به ناچار این مهم را به استاد راهنمای خویش واگذار می کنند و در انتخاب زمینه تحقیقاتی مناسب به تجارب استادشان تکیه می کنند. مساله فوق با این واقعیت پیچیده تر می شود که بسیاری از موضوعات بیان شده در دوره کارشناسی ریاضی کاملا حل شده اند در صورتیکه بسیاری از مسائل حل نشده برای فهم نیاز به دانسته های تخصصی یا مرور تحقیقات انجام شده دارند تا بتوان آن را برای تحقیقات مناسب مهیا کرد.
پس دانشجویان چگونه می توانند موضوعی را انتخاب کنند که پیش پا افتاده نباشد و در عین حال برای تحقیق مناسب و قابل انجام باشد؟
گستره عظیم تحقیقات ریاضی در چارچوب پنج دسته قابل بیان است که پس از کمی تامل می توان آنرا در کلمه اتکتو خلاصه کرد: اثبات - توسیع - کاربرد - توصیف - وجود.
اثبات: کم و بیش هر تحقیق ریاضی شامل اثبات است. با این مفهوم اثبات مرکز توجه در پروژه های تحقیقاتی است. در حالت کلی تر باید متذکر شد که ارائه اثبات جدید نیز جزو تحقیقات معتبر ریاضی است. به عنوان نمونه گاوس با ارئه اثبات جدیدی از قضیه بنیادی جبر رساله دکتری خویش را دریافت نمود. گاوس احساس کرد که اثبات حاضر رسا نیست لذا چهار اثبات دیگر از این قضیه ارائه کرد.
توسیع: در این روش چند مفهوم گسترش داده می شوند. برای مثال نیوتن بسط چند جمله ای خود را برای توان های صحیح بدست آورد سپس آن را برای توانهای گویای مثبت و منفی گسترش داد. انتگرال لبسکیو نمونه دیگری از توسیع است.
کاربرد: در این روش ایده موجود را در زمینه های جدید به کار می گیریم. این روش عمده ترین فعالیت در ریاضیات کاربردی است ولی می تواند در ایجاد بخش های نوین ریاضیات محض به کار گرفته شود. به عنوان نمونه کاربرد جبر در هندسه منجر به ایجاد هندسه تحلیلی گردید.
توصیف: ما می توانیم به دسته بندی و توصیف مفاهیم و موضوعات ریاضی بپردازیم. برای مثال عمده کار کشی توصیف مفاهیم پیوستگی مشتق پذیری و انتگرال پذیری بود. همچنانکه کانتور به توصیف ساده ای از مفهوم بینهایت پرداخت.
وجود: اگر موشکافانه نگاه کنیم وجود بخشی از توصیف است. زیرا یکی از خواص مساله وجود یا عدم وجود آن است. برای نمونه در این حالت می توان به اثبات اقلیدس از وجود بینهایت عدد اول اشاره کرد.
با استفاده ار این ۵ اصل دانشجویان دوره کارشناسی و کارشناسی ارشد راحتتر می توانند موضوعات تحقیقاتی شان را ایجاد نمایند.

آیا ریاضیات علمی منطقی است؟

منطق ریاضی به معنای خاص که در واقع باید ترجمه The logic of mathematic باشد چرا که ریاضیات مانند هر علم دیگری از نظمهایی برخوردار است که این نظمها تحت عنوان منطق می آید و منطق ریاضی به معنای خاص بررسی ریاضی این نظمها یا قواعد است.


منطق ریاضی ، ترجمه mathematical logic است. از منطق ریاضی دو معنا مستفاد می شود.

۱) منطق ریاضی به معنای خاص که در واقع باید ترجمه The logic of mathematic باشد چرا که ریاضیات مانند هر علم دیگری از نظمهایی برخوردار است که این نظمها تحت عنوان منطق می آید و منطق ریاضی به معنای خاص بررسی ریاضی این نظمها یا قواعد است.

۲) معنای عامی هم برای منطق ریاضی متصور است که عبارت است از: استفاده از روشها و تکنیکهای ریاضی برای بررسی منطق. به این معنا که منطق ریاضی یک علم کاربردی است و در مقوله ریاضیات کاربردی قرار می گیرد. بین دو معنای عام و خاصی که مطرح شد یک رابطه واقعی عام و خاص نیز وجود دارد.

کتاب «منطق ریاضی» ، کتابی به معنای خاص منطق ریاضی است. یعنی بررسی منطق متعلق به ریاضیات نه منطق به معنای عام. در واقع باید گفت که معنای آن خاص است. یعنی کتابی است برای بررسی ریاضیات کلاسیک. شاید این سؤال پیش آید که ریاضیات کلاسیک چیست؟ و مگر ریاضیات غیر کلاسیک نیز وجود دارد.


● آیا ریاضیات علمی منطقی است؟


جواب این است که با توجه به نوع نگرش فلسفی که نسبت به اشیاء ریاضی و عالم ریاضی داریم ریاضیات غیر کلاسیک هم وجود دارد. به تسامح می توان گفت که در ریاضیات کلاسیک شیوه هایی از استدلال و برهان وجود دارد که در ریاضیات غیرکلاسیک مجاز نیست. به ویژه برهان خلف به عنوان یک برهان که در ریاضیات کلاسیک به کار می رود در ریاضیات غیر کلاسیک بر قرار نیست و قاعدتاً منطقی را می طلبد که با منطق ریاضیات کلاسیک متفاوت است. در این منطق، ریاضیات ساختی اصل طرد شق ثالث یک اصل معتبر ریاضی نیست. بنابراین منطق ریاضیات ساختی و به عبارت معروفتر منطق شهود گرایانه اصول و قواعد کمتری از منطق کلاسیک را دارد.


کتاب «منطق ریاضی» بسیار خاص است. یعنی عبارت است از: بررسی منطق ریاضیات کلاسیک. اما بین این معنای خاص و عام منطق ریاضی رابطه واقعی وجود دارد. به این معنا که حتی در معنای خاص منطق ریاضی ویژگی عام معنایی هم در این مورد وجود دارد. یعنی این که ما از تکنیکها و روشهای ریاضیات در بررسی تحقیق درباره ریاضیات سود می بریم. پس منطق ریاضی به دو وجه ریاضی است. نخست اینکه موضوع آن موضوع منطق ریاضی است، دوم اینکه روش آن ریاضی است. یعنی اینکه در عالم ریاضیات با استفاده از اصول و قواعد ریاضی، ما به موضوع منطق ریاضی می پردازیم. پس منطق ریاضی به معنای عام برای موضوع ریاضیات به دو وجه ریاضی است و این نکته ای نسبتاً مهم است. ریاضی بودن، روش تألیف دقیق دارد . اگر بخواهیم خیلی دقیق باشیم - و من اصرار به دقیق بودن آن دارم - این است که وقتی می گوییم روش ریاضی است یعنی در عالم نظریه، مجموعه اصول و قواعدی ما را مجاز می کند که چه اعمالی را انجام دهیم و یا چه اعمالی را انجام ندهیم. اما اگر با مسامحه بخواهیم صحبت کنیم روش ریاضی همان علائم و نمادهایی است که برای اشاره به اشیا و اعمال جمع و ضرب و تقسیم به کار می رود.


بدیهی است که هر چه این تکنیک ریاضی را در سطح بالاتری به کار بریم یعنی هر چه هزینه بیشتری بپردازیم چیز بهتری به دست می آوریم به همین دلیل است که غالباً قضایای شگفت انگیز بنیان افکن علم ریاضی از تکنیکهای پیشرفته ای در اثبات برخوردار است و هر چه روش ریاضی را محدودتر کنیم طبعاً چیز کمتری به دست می آوریم.


به معنای عام منطق ریاضی باز می گردیم. اما منطق چیست . آیا واقعاً یک منطق وجود دارد و یا منطقهای مختلفی وجود دارند؟ آیا هر کدام از اینها روش خاص ریاضی را برای بحث می طلبد؟ فارغ از اینکه ما چه تعریفی برای منطق قائل باشیم شکی نیست که نقطه آغازین منطق ریاضی ابداع زبان مناسب است و این پیشفرض علمی منطق ریاضی است که منطق یا به عبارتی دیگر نظمهای تفکر در قالب زبان متجلی می شوند. بنابراین زبان، بحث فلسفی عمیقی را می طلبد. چیزی که در قالب زبان نیاید در قلمرو کار منطق و ریاضی قرار نمی گیرد. این زبان، زبان طبیعی نیست گرچه با بررسی و تجزیه و تحلیل زبان طبیعی ساخته می شوند. این زبان را اصطلاحاً «زبان صوری» می گوییم. در این زبان نمادهایی را به طور صوری ابداع می کنیم که این ابداع نمادها آن را از زبان طبیعی جدا می کند. اما در عین حال این نمادها بدون مبنا انتخاب و ابداع نمی شوند.


این نمادها با تجزیه و تحلیل زبان طبیعی و اجزای زبان طبیعی ساخته می شود.


بنابراین با تجزیه و تحلیل زبان سعی داریم مدل ریاضی بسازیم. به عبارتی دیگر این بخشی از کار منطق ریاضی است که ما برای نحوی از زبان ابتدا مدل ریاضی می سازیم. اما مفاهیم دیگری مثل مفهوم صدق یا حقیقت یا تعریف پذیری در قلمرو معنا شناسی و دلالت شناسی قرار می گیرند. قسمت دوم کار، مدل سازی برای معنا شناسی یا دلالت شناسی زبان است. اما در منطق ریاضی بین نحو کلام یا زبان و یا معناشناسی زبان برای جلوگیری از هر نوع خلط احتمالی جدایی است. نحو در زبان صوری چیزی شبیه گرامر و دستور زبان است. یکی از مسائل اساسی که در این مرحله در منطق ریاضی به آن توجه شده این است که بین زبانی که به عنوان شیء ساختیم و زبانی که در آن درباره این شیء که در زبان هست می خواهیم صحبت کنیم، تمایز اساسی وجود دارد. بنابراین هوشمندی در زبان جلوگیری از پارادوکسهایی است که در طول تاریخ وجود داشته و غالباً ناشی از خلط زبان و مفاهیم فرا زبانی بود مثل عبارت پارادوکس دروغگو.


یکی از مفاهیمی که به نوعی مشترک در زبان شناسی، فلسفه و منطق است و شاید یکی از مفاهیم بسیار اساسی باشد مفهوم «معناداری» است. اما متأسفانه باید گفت هیچ کدام از این سه شاخه تا کنون قادر به ارائه یک مدل از آن نشده اند. در این زمینه تحقیقات همچنان ادامه دارد. از مفاهیم اساسی که در نحو زبان وجود دارد مفهوم «برهان» است که در مقابل مفهوم «صدق» قرار دارد. یکی دیگر از علایق اساسی منطق ریاضی رابطه این دو است. اینکه ما در نحو زبان مفاهیمی داریم و آنها را ابداع کردیم و همین طور در دلالت شناسی زبان مفاهیمی را مدل سازی ریاضی کردیم و طبیعتاً روابط به این دو مقوله از علائق اساسی منطق است. اینکه آیا در یک دستگاه منطقی گزاره ای مثل E اثبات یا استنتاج شود کاملاً یک مفهوم نحوی است که چگونه یک جمله را از بقیه مفروضاتتان تولید کنید. تولید کاملاً یک مفهوم مبتنی بر گرامر زبان است و از طرف دیگر بپرسید که آیا این جمله راست است یا دروغ؟ یک مفهوم معنایی است اینکه خارج از زبان بین این دو چه رابطه ای وجود دارد و بررسی رابطه این دو مفهوم از علائق ذاتی بررسی منطق ریاضی است.


تدوین منطق ریاضی اساساً کار سختی است ولی می توان گفت بین سالهای ۱۸۵۰ تا ۱۹۵۰ این کار توسط چندین نفر صورت گرفته است. به نظر من ارسطو اولین کسی که این بنا را بنیاد نهاد. فارغ از اینکه منطق ارسطو از نظر منطق ریاضی چقدر موجه بنماید و مهم باشد، به نظر من کاخ عظیم منطق ریاضی را ارسطو ساخته است. این کاخ چنان مستحکم بود که حداقل تا ۱۸۷۹ وقتی که فرگه وارد میدان شد، دوام آورد و تصویر و تصور ما را با تجزیه و تحلیلی که نسبت به زبان آغاز کرد از منطق دگرگون کرد. منطق ارسطویی، تحلیلی را از اجزای جمله شروع می کند که مبتنی بر موضوع محمول است و رابطه این تصویر را فرگه دگرگون کرد و آن را تبدیل به تابع و شناسه نمود. بدین ترتیب مفهومی ریاضی وارد میدان شد و تصویر و تصور ما را از مفهوم گزاره و جمله تغییر داد. علاوه بر این فرگه کارهای دیگری هم انجام داد که بنیاد منطق ریاضی جدید مبتنی بر کارهای فرگه است.


سومین کسی که کار انقلابی در منطق کرد اما مبتنی بر کارهای فرگه بود گودل است. او در حوالی سالهای ۱۹۳۱ و ۱۹۳۰ دو نوع قضایای تمامیت و قضایای نا تمامیت را ارائه کرد. قضیه تمامیت باز می گردد به همان مفهوم و سؤالی که من در رابطه نحو و معناشناسی مطرح کردم. آیا در یک دستگاه منطقی یک حکم یا یک گزاره قابل استنتاج صادق است و بالعکس در حکمی که صادق است هر معنایی در همه جهانهای ممکن آیا این قابل استنتاج است و اگر این دستگاه چنین ویژگی داشته باشد نشان دهنده این است که این دستگاه کامل و تمام است. گودل در ۱۹۳۰ ثابت کرد که این بنیانگذاری منطق بر شالوده تفکر فرگه برای منطق کامل هست. قضایای نا تمامیت گودل پیچیده تر و البته مأیوس کننده تر برای تفکر بشری است.

حیوانات هم ریاضیدان می شوند؟؟

یک تیم تحقیقاتی از دانشمندان در انگلیس اخیرا" طی مقاله ای که منتشر کرده است به این نتیجه رسیده است : "بیمارانی که به علل مختلف توانایی صحبت کردن و درک دستور زبان را از دست می دهند با این وجود می توانند اعمال ریاضی سخت را انجام دهند."

این تحقیقات نشان می دهد که درک ریاضیات و انجام محاسبات به احتمال زیاد ارتباطی به زبان گفتگوی مردم ندارد. مطالعات قبلی نشان می داد که زبان و گفتار که از مهمترین تفاوت های میان انسان و حیوان است، باعث پیشرفت و برتری انسان نسبت به سایر حیوانات می باشد. اما با این نظریه جدید دانشمندان به این باور رسیده اند که زبان بیشتر برای سایر فعالیت های ذهنی و حتی روشنفکرانه کاربرد بیشتری دارد.

روش کار به اینگونه بود که بر روی سه بیمار که به علت ضایعات مغزی توانایی درست کردن جملات و بکار بردن گرامر را از دست داده بودند و نیز قدرت بیان و تلفظ صحیح لغات را نداشتند، یک سری آزمایش انجام گرفت.

بعنوان مثال همه آنها درک درستی از لغت های انسان، شیر و شکار را داشتند، اما تفات جملات "انسان شیر را شکار میکند" و "شیر انسان را شکار میکند" را متوجه نمی شدند. اما به محض آنکه به آنها پرسیده می شد 11-52 و 52-11 چه مقدار می شود بسادگی توانایی پاسخ دادن را داشتند. در واقع با وجود آنکه آنها در درک جملات ضعف بسیار زیادی از خود نشان می داند بسادگی توانایی درک اعمال ریاضی را داشتند.

این تحقیقات نشان می دهد که برای یادگیری و درک ریاضیات نیازی به زبان وجود ندارد و زبان صرفا" عاملی است برای انتقال و آموزش آن. برخی از افراد این تیم تحقیقاتی این سئوال را مطرح می کنند که بنابراین اگر این نظریه صحت داشته باشد حیوانات هم می توانند درک ریاضی داشته باشند. درواقع این نظریه که زبان عامل اصلی باهوش بودن انسان نسبت به حیوان می باشد تا حدی زیر سئوال می رود.

یکی از دانشمندان دانشگاه کلمبیا در یکی از مقالات منتشر شده خود در این رابطه می نویسد : "به نظر می رسد در آینده باید در انتظار آن باشیم که ریاضیات با نوشتار جدیدی برای سایر حیوانات غیر از انسان نیز کاربرد داشته باشد!"

انتقال سینوس

فقط با یک انتقال ساده چه شکل زیبایی می توان ساخت

فرمول ریاضی تهیه یک فنجان چای مطبوع!

فرمول ریاضی تهیه یک فنجان چای مطبوع!

چای یکی از بهترین نوشیدنیها است. ممکن است بسیاری از مردم تصور کنند که تهیه یک چای عالی هنر است. در سالی که گذشت گروهی از دانشمندان دانشگاه اومبریای شمالی در انگلیس نشان دادند که تهیه یک چای خوب بیش از آنکه هنر باشد، علم است.

این دانشمندان با ارائه یک فرمول ریاضی راز تهیه یک فنجان چای مطبوع را نشان دادند. برپایه این فرمول ریاضی، دمای مطلوب برای نوشیدن چای 60 درجه سانتیگراد است که 6 دقیقه پس از ریختن این نوشیدنی در فنجان به دست می آید. اما پس از گذشت 17 دقیقه و 30 ثانیه، دمای چای به 54 درجه سانتیگراد می رسد که بهترین دما برای لذت بردن از آن است.

فرمول ریاضی یک فنجان چای مطبوع:

TB+ (H2O) 2mins BT+ C(10 ml) 6 mins BT= PC(OT 60°c

توضیح علائم اختصاری:

TB یک چای کیسه ای

BT زمان دم کردن/ در این فرمول دو دقیقه

H2O آب

C شیر/ در این فرمول 10 میلی لیتر

PC یک فنجان چای مطبوع

OT دمای مناسب برای نوشیدن چای/ در این فرمول 60 درجه سانتیگراد

تاریخچه انتگرال

بيش از دو هزار سال پيش ارشميدس (287-212 قبل از ميلاد) فرمول هايي را براي محاسبه سطح  وجه ها ، ناحيه ها و حجم هاي جامد  مثل كره ، مخروط و سهمي يافت . روش انتگرال گيري ارشميدس استثنايي و فوق العاده بود جبر ، نقش هاي بنيادي ، كليات و حتي واحد اعشار را هم نمي دانست .

ليبنيز (1716-1646) و نيوتن (1727-1642) حسابان را كشف كردند . عقيده كليدي آنها اين بود كه مشتق گيري و انتگرال گيري اثر يكديگر را خنثي مي كنند با استفاده از اين ارتباط ها آنها توانستند تعدادي از مسائل مهم در رياضي ، فيزيك و نجوم را حل كنند.

فورير (1830-1768) در مورد رسانش گرما بوسيله سلسله زمان هاي مثلثاتي را مي خواند تا نقش هاي بنيادي را نشان دهد .رشته هاي فورير و جابجايي انتگرال امروزه در زمينه هاي مختلفي چون داروسازي و موزيك اجرا مي شود .

گائوس (1855-1777) اولين جدول انتگرال را نوشت و همراه ديگران سعي در عملي كردن انتگرال در رياضي و علوم فيزيك كرد . كايوچي (1857-1789) انتگرال را در يك دامنه همبستگي تعريف كرد . ريمان (1866-1826) و ليبيزگو (1941-1875) انتگرال معين را بر اساس يافته هاي مستدل و منطقي استوار كردند .

ليوويل (1882-1809) يك اسكلت محكم براي انتگرال گيري بوجود آورد بوسيله فهميدن اينكه چه زماني انتگرال نامعين از نقش هاي اساسي دوباره در مرحله جديد خود نقش اساسي مرحله بعد هستند . هرميت (1901-1822) يك شيوه علمي براي انتگرال گيري به صورت عقلي و فكري ( يك روش علمي براي انتگرال گيري سريع ) در دهه 1940 بعد از ميلاد استراسكي اين روش را همراه لگاريتم توسعه بخشيد .

در دهه بيستم ميلادي قبل از بوجود آمدن كامپيوترها رياضيدانان تئوري انتگرال گيري و عملي كردن آن روي جداول انتگرال را توسعه داده بودند و پيشرفت هايي حاصل شده بود .در ميان اين رياضيدانان كساني چون واتسون ، تيچمارش ، بارنر ، ملين ، ميچر ، گرانبر ، هوفريتر ، اردلي ، لوئين ، ليوك ، مگنوس ، آپل بلت ، ابرتينگر ، گرادشتاين ، اكستون ، سريواستاوا ، پرودنيكف ، برايچيكف و ماريچيف حضور داشتند .

در سال 1969 رايسيچ پيشرفت بزرگي در زمينه روش علمي گرفتن انتگرال نامعين حاصل كرد . او كارش را بر پايه تئوري عمومي و تجربي انتگرال گيري با قوانين بنيادي منتشر كرد روش او عملاً در همه گروه هاي قضيه بنيادي كارگر نيست تا زماني كه در وجود آن يك معادله سخت مشتق گيري هست كه نياز دارد تا حل شود . تمام تلاش ها ااز آن پس بر روي حل اين معادله با روش علمي براي موفقيت هاي مختلف قضيه اساسي گذاشته شد . ايت تلاش ها باعث پيشرفت كامل سير و روش علمي رايسيچ شد . در دهه 1980 پيشرفت هايي نيز براي توسعه روش او در موارد خاص از قضيه هاي مخصوص و اصلي او شد .

از قابليت تعريف انتگرال معين به نتايجي دست ميابيم كه نشان دهنده قدرتي است كه در رياضيات مي باشد (1988) جامعيت و بزرگي به ما ديدگاه موثر و قوي در مورد گسترش در  رياضيات و همچنين كارهاي انجام شده در قوانين انتگرال مي دهد . گذشته از اين رياضيات توانايي دارد تا به تعداد زيادي از نتيجه هاي مجموعه هاي مشهور انتگرال پاسخ دهد ( اينكه بفهميم اين اشتباهات ناشي از غلط هاي چاپي بوده است يا نه ) . رياضيات اين را ممكن مي سازد تا هزاران مسئله انتگرال را حل نماييم به طوريكه تا كنون در هيچ يك از كتابهاي دستنويس قبلي نيامده باشد . در آينده ديگر وظيفه ضروري انتگرال اين است كه به ازمايش تقارب خطوط ، ارزش اصلي آن و مكانيسم فرض ها بپردازد .

علم ریاضیات

ریاضیات عموما مطالعه الگوی ساختار، تحول و فضا تعریف شده است؛ بصورت غیر رسمی تر، ممکن است بگویند مطالعه "اعداد و اشکال" است. در منظر صاحبان فکر، تحقیق بدیهیات ساختارهای مجرد تعریف شده، با استفاده از منطق و نماد سازی ریاضی می‌باشد؛ نظرات دیگر در فلسفه ریاضیات بیان شده است.

بقیه در ادامه مطلب

ادامه نوشته